마방진 원리, 마방진 만드는 법, 마방진 푸는 법

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마방진 원리, 마방진 만드는 법, 마방진 푸는 법

커피 한 잔의 여유 2013. 3. 11. 20:03

마방진은 일정한 칸 안에 자연수 1부터 중복이나 빠짐없이 배열하여 가로와 세로의 합이 동일하도록 만드는 숫자표이다.

마방진에는 크게 정사각형(3×3, 4×4, 5×5, ...) 마방진과 지수귀문도 등이 있다.

정사각형 마방진에는 크게 홀수 마방진과 짝수 마방진으로 나뉜다.

홀수 마방진은 3×3, 5×5, 7×7, ... 과 같이 가로와 세로의 수가 동일하며, 홀수로 이루어진 마방진이며, 짝수 마방진은 4×4, 6×6, 8×8, ... 과 같이 가로와 세로의 수가 동일하며, 짝수로 이루어진 마방진이다.

짝수 마방진에 2×2 마방진은 존재하지 않는다.

그러므로 자연수로 된 마방진에는 1×1, 3×3, 4×4, 5×5, ... 과 같이 2를 제외하고, 1부터 무한대 숫자까지 존재한다.

마방진의 원리

마방진은 자연수 1부터 시작하여 중복 및 빠짐을 허용하지 않는 숫자들의 배열로 이루어진 숫자표이다.

3×3 마방진의 경우 가로 3칸, 세로 3칸으로 이루어진 마방진이다. 여기에는 총 9칸이 존재하므로 1부터 9까지의 숫자가 중복 및 빠짐 없이 배정되면 된다.

마방진은 각 군 조합의 합이 같아야 한다. 홀수 마방진의 경우 가로, 세로, 대각선이 군에 해당한다.

가로의 합을 구해 보면

4 + 9 + 2 = 15

3 + 5 + 7 = 15

8 + 1 + 6 = 15 가 된다.

세로의 합을 구해 보면

4 + 3 + 8 = 15

9 + 5 + 1 = 15

2 + 7 + 6 = 15 가 된다.

대각선의 합을 구해 보면

4 + 5 + 6 = 15

2 + 5 + 8 = 15 가 된다.

이처럼 각 군의 합이 동일해야만 한다.

3 × 3 마방진의 경우 위의 그림을 상하 반전과 좌우 반전을 응용하면 총 8개의 해답이 나온다.

그렇다면 왜 합이 15 가 나올까?

그 원리는 여기에 들어가는 숫자들의 평균을 가로, 혹은 세로 개수로 곱한 값이다.

1 부터 9 까지의 평균은 5 이다. 계산해 보면 1 + 9 는 10 이 되고, 이 숫자를 2 로 나누면 5 가 된다.

5 가 3 칸이므로 5 × 3 = 15, 즉 15 라는 숫자가 나온다.

이것을 수식으로 변환하면 n(n^2 + 1) / 2 가 된다.

대입해 보면 3(3^2 + 1) / 2 가 되며,

3^2를 먼저 계산하면 9가 되므로 3(9 + 1) / 2 가 되고,

괄호 속의 9 + 1을 계산하면 3(10) / 2 가 되며,

3 과 10 을 곱하면 30 / 2 가 되고,

30 / 2 의 결과는 15 가 된다.

홀수 마방진 푸는 법

흔히 마방진이라 함은 정사각형으로 된 마방진을 뜻한다.

마방진은 홀수 마방진과 짝수 마방진의 푸는 법이 다르다.

홀수 마방진 푸는 법은 다음의 규칙을 따른다.

1. 정사각형의 맨 아랫줄 가운데에 숫자 1 을 둔다.

2. 이전 숫자 위치에서 오른쪽 아래칸이 비어 있으면 다음 숫자를 채운다.

3. 이전 숫자 위치에서 오른쪽 아래칸이 채워져 있으면 이전 숫자의 위칸에 다음 숫자를 채운다.

4. 오른쪽 아래칸이 사각형의 영역 밖이면 다음의 규칙을 따른다.

4-1. 수평 및 수직으로 이동해서 마지막 칸이 비어 있으면 해당 칸에 숫자를 채운다.

4-2. 수평 및 수직으로 이동해도 칸이 없는 경우 이전의 숫자 위치 위쪽 칸에 다음 숫자를 채운다.

홀수 마방진 푸는 과정

위의 홀수 마방진 푸는 법을 적용해서 마방진을 풀어보자.

아래 그림처럼 1번 규칙을 적용해서 정사각형의 맨 아랫줄 가운데에 숫자 1을 둔다.

다음 숫자의 위치를 찾기 위해 오른쪽 아래의 칸을 확인한다.

오른쪽 아래의 칸이 사각형 영역 밖이면 수평 및 수직으로 이동한다. 아래 그림의 경우 수직으로 이동해서 마지막 칸이 비어 있으므로 다음 숫자 2 를 채운다.

숫자 2 에서 오른쪽 아래의 칸을 찾는다. 위의 경우처럼 수평 및 수직으로 이동할 수 있는지 확인한다. 아래 그림의 경우 수평으로 이동이 가능하므로 맨 마지막 칸에 다음 숫자인 3 을 채운다.

숫자 3의 위치에서 오른쪽 아래의 칸을 보면 이미 숫자가 채워져 있으므로, 이전 숫자의 위에 다음 숫자인 4 를 채운다.

숫자 4 에서 오른쪽 아래칸을 보면 칸이 비어 있으므로 다음 숫자인 5 를 채운다.

이전처럼 숫자 5 에서 오른쪽 아래칸이 비어 있으므로 숫자 6 을 채운다.

숫자 6 에서 오른쪽 아래칸을 보면 가로 및 세로로 이동할 수 있는 칸이 아니므로, 이전 숫자의 위칸에 다음 숫자인 7 을 채운다.

숫자 7 에서 오른쪽 아래칸이 사각형 영역 밖이므로 수평 및 수직으로 이동한다. 다음의 예는 수평으로 이동이 가능하므로 마지막 칸에 숫자 8 을 채운다.

숫자 8 에서 오른쪽 아래칸이 사각형 영역 밖이므로 수평 및 수직으로 이동해 본다. 다음의 경우 수직으로 이동이 가능하므로, 다음 숫자인 9 를 채운다.

여기까지 진행한 과정을 정리해 보면

1. 맨 아래쪽 가운데에 숫자 1을 채운다.

2. 오른쪽 아래 칸을 확인한다.

3. 해당 칸이 비어 있으면 다음 숫자를 채운다.

4. 해당 칸이 채워져 있으면 이전 숫자 위치 윗칸에 다음 숫자를 채운다.

5. 오른쪽 아래칸이 사각형 영역 밖이면 수평이나 수직으로 이동해서 마지막 칸에 다음 숫자를 채운다.

6. 오른쪽 아래칸이 사각형 영역의 오른쪽 아래칸인 경우 이전 숫자의 윗칸에 다음 숫자를 채운다.

위의 규칙은 3×3 마방진을 비롯해서 5×5, 7×7, ... 등 모든 홀수 마방진에 적용된다.

짝수 마방진 푸는 법

짝수 마방진을 푸는 방법은 다음과 같다.

1. 대각선의 위치만 1 부터 시작해서 해당칸이 몇 번째 칸인지 숫자를 채운다.

2. 맨 오른쪽 아래부터 위로 올라오면서 채워지지 않은 숫자를 순서대로 채운다.

짝수 마방진 푸는 과정

4×4 마방진을 예로 들어 짝수 마방진 푸는 과정을 설명한다.

마방진의 대각선 영역에 대해 순서대로 숫자를 채운다. 아래는 대각선 영역에만 하늘색으로 색을 채운 그림이다.

대각선 위치만 1 부터 시작해서 해당 칸의 숫자를 채워 넣는다. 이 때 1 다음에 2 를 넣는 것이 아니라 해당 칸의 위치인 숫자 4 를 채워 넣는다. 이런 방법으로 마지막 칸에는 숫자 16 이 채워진다.

대각선 영역이 아닌 곳에만 맨 아래쪽 우측칸부터 숫자를 채워 넣는데, 지금까지 채워지지 않은 숫자들을 순서대로 채워 넣는다. 대각선 영역에 이미 숫자 1 이 들어 갔으므로 숫자 2를 채워 넣고, 그 다음 숫자 3을 채워 넣으며, 숫자 4 는 이미 있으므로 다음 빈칸에는 숫자 5를 채워 넣는다. 이 방식으로 빈 칸을 모두 채우면 아래 그림과 같이 채워진다.